نکاتی راجع به جبرهای فون نویمان

نکاتی راجع به جبرهای فون نویمان

الف- توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم‌های به شکل زیر تعریف می‌گردد: 

نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا

ب- توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم‌های به شکل زیر تعریف می‌گردد :

نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا

یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد.

قضیه: فرض کنیم S زیرمجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.

طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.

  1. جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H می‌باشند.
  2. جبرهای فون نویمان به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.
  3. یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد.
  4. فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H
  5. بنا به نکته ۴ یک *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.
  6. جبر (B(H یک جبر فون نویمان است.
  7. اگر A یک *c زیر جبر(B(H باشد آنگاه بستار A با توپولوژی قوی یا ضعیف عملگرها یک جبر فون نویمان است.
  8. اگر A جبر فون نویمان در (B(H باشد آنگاه گوی واحد بسته A در توپولوژی ضعیف عملگرها فشرده و در توپولوژی قوی عملگرها بسته است.
  9. یک جبر فون نویمان شامل تمام تصاویر بردی عناصر خودش است.
  10. اگر T عنصری از جبر فون نویمان A باشد آنگاه تصویر متعامد به روی هسته T متعلق به A است.
  11. اگر A جبر فون نویمان با بعد بیشتر از یک باشد در این صورت A شامل تصاویر غیر بدیهی است.
  12. فرض کنیم F زیر مجموعه‌ای از (B(H باشد، در این صورت جابه‌جا گر F برابر است با تمام عضوهایی از (B(H که با هر عضو F جا به جا می‌شوند.جا به جا گر F را یک جبر فون نویمان گوییم هرگاه F خودالحاق باشد.
  13. یک *c زیر جبر F از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه F با جا به جا گر دوم، خود برابر باشد.
  14. نکته ۳ تعریف توپولوژیکی و نکته ۱۳ تعریف جبری از یک جبر فون نویمان می‌باشد.
  15. فرض کنید F زیرمجموعه خودالحاق (B(H باشد در این صورت جا به جا گر دوم F، کوچک‌ترین جبر فون نویمان شامل F است.
  16. جا به جا گر جبر فون نویمان (B(H فقط متشکل از مضارب ثابت همانی است.
  17. فرض کنیم F یک جبر فون نویمان باشد.در این صورت یک عملگر در (B(H متعلق به A است اگر و تنها اگر با هر تصویر در جا به جا گر A، جا به جا شود.
  18. یک *c زیر جبر F از (B(H یک جبر فون نویمان آبلی ماکسیمال است اگر و تنها اگر F با جا به جا گرش، برابر باشد.
  19. هر *c - یکریختی، sup را حفظ می‌کند.
  20. جبر فون نویمان A را فاکتور نامیم هرگاه مرکزش بدیهی باشد.
  21. ساده‌ترین فاکتور جبر کامل (B(H می‌باشد.
  22. یک فاکتور لزوما غیر جا به جایی است مگر اینکه جبر یک بعدی باشد.

تریتا را در جهت رسیدن به اهدافش حمایت کنید:

منابع:

  1. Kehe zhou

اشتراک گذاری:

مطالب مرتبط
اسماعیل طاهری

اسماعیل طاهری

بهترین راه برای پیش‌بینی آینده، ساختن آن است. آن را بسازید...