نکاتی راجع به جبرهای فون نویمان

نکاتی راجع به جبرهای فون نویمان

الف- توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم‌های به شکل زیر تعریف می‌گردد: 

نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا

ب- توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم‌های به شکل زیر تعریف می‌گردد :

نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا

یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد.

قضیه: فرض کنیم S زیرمجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.

طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.

1. جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H می‌باشند.
2. جبرهای فون نویمان به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.
3. یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد.
4. فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H
5. بنا به نکته ۴ یک *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.
6. جبر (B(H یک جبر فون نویمان است.
7. اگر A یک *c زیر جبر(B(H باشد آنگاه بستار A با توپولوژی قوی یا ضعیف عملگرها یک جبر فون نویمان است.
8. اگر A جبر فون نویمان در (B(H باشد آنگاه گوی واحد بسته A در توپولوژی ضعیف عملگرها فشرده و در توپولوژی قوی عملگرها بسته است.
9. یک جبر فون نویمان شامل تمام تصاویر بردی عناصر خودش است.
10. اگر T عنصری از جبر فون نویمان A باشد آنگاه تصویر متعامد به روی هسته T متعلق به A است.
11. اگر A جبر فون نویمان با بعد بیشتر از یک باشد در این صورت A شامل تصاویر غیر بدیهی است.
12. فرض کنیم F زیر مجموعه‌ای از (B(H باشد، در این صورت جابه‌جا گر F برابر است با تمام عضوهایی از (B(H که با هر عضو F جا به جا می‌شوند.جا به جا گر F را یک جبر فون نویمان گوییم هرگاه F خودالحاق باشد.
13. یک *c زیر جبر F از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه F با جا به جا گر دوم، خود برابر باشد.
14. نکته ۳ تعریف توپولوژیکی و نکته ۱۳ تعریف جبری از یک جبر فون نویمان می‌باشد.
15. فرض کنید F زیرمجموعه خودالحاق (B(H باشد در این صورت جا به جا گر دوم F، کوچک‌ترین جبر فون نویمان شامل F است.
16. جا به جا گر جبر فون نویمان (B(H فقط متشکل از مضارب ثابت همانی است.
17. فرض کنیم F یک جبر فون نویمان باشد.در این صورت یک عملگر در (B(H متعلق به A است اگر و تنها اگر با هر تصویر در جا به جا گر A، جا به جا شود.
18. یک *c زیر جبر F از (B(H یک جبر فون نویمان آبلی ماکسیمال است اگر و تنها اگر F با جا به جا گرش، برابر باشد.
19. هر *c - یکریختی، sup را حفظ می‌کند.
20. جبر فون نویمان A را فاکتور نامیم هرگاه مرکزش بدیهی باشد.
21. ساده‌ترین فاکتور جبر کامل (B(H می‌باشد.
22. یک فاکتور لزوما غیر جا به جایی است مگر اینکه جبر یک بعدی باشد.

منابع:

1. Kehe zhou