نکات مهم از آنالیز برای استفاده دانشجویان ارشد و دکتری ریاضی

نکته‌ای از آنالیز

نکته 1:

۱- دنباله {¹-n} در فضای R با متر اقلیدسی به صفر همگراست.

۲- تابع سه ضابطه‌ای زیر را در نظر بگیرید:

F: R→R
{F(0)=10
{F(10)=0
{F(t)=t otherwhere

متر d را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

d: RxR→R
d(x,y)=l F(x) - F(y)l

در این صورت دنباله {¹-n} با متر بالا به ۱۰ همگراست.

۳- نکته ۱و۲ نشان می‌دهد همگرایی دنباله به متر به کار رفته در فضا بستگی دارد.

نکته 2:

بر خلاف فضای هیلبرت متناهی البعد، در فضای هیلبرت نامتناهی البعد همیشه عملگر nonunitary، طولپا موجود است. مثالی از عملگری که unitary نیست ولی طولپا (isometry) است.

T: l²→l²   T(x¹,x²,x³,...) = (0, x¹,x²,x³, ...)

نکته 3:

گردایه همه زیرمجموعه‌های R که خودش یا متممش شماراست، سیگما جبری است که توپولوژی نیست. چون این گردایه شامل تمام تک عضوی‌ها است. لذا باید شامل بازه‌ای مانند (a,b) باشد که غیرممکن است، چون (a,b) و متممش هر دو ناشمارا هستتد.

نکته 4:

اگر تابع F: R→R تابعی پیوسته و برد آن زیرمجموعه‌ای از اعداد گویا باشد که در شرایط زیر صدق کند:

F(√3)=α-β
F(0/5)=2α-1
F(2)=5

آنگاه مقدار α, β کدام‌است. پاسخ:

1. چون f پیوسته و R هم‌بند است لذا برد f یعنی (R(f همبند است.
2. از طرفی چون Q کلا ناهم‌بند و (R(f هم زیرمجوعه Q است لذا (R(f ممکن است ناهم‌بند باشد.
3. الف و ب ایجاد تناقض می‌کند. برای رفع این تناقض به ناچار (R(f باید تک عضوی باشد، یعنی: f(R)=5 بنابراین 2α-1=5 , α-β=5 لذا  α=3  ,β=-2 

نکته 5:

فرض کنیم ℍ فضای هیلبرت مختلط نابدیهی باشد، فضای عملگرهای خطی و کراندار روی ℍ را با (ℬ(ℍ
نمایش می‌دهیم.

۱- توپولوژی ضعیف عملگرها (weak operator topology): یک زیر پایه (subbase) برای این توپولوژی به صورت زیر تعریف می‌گردد:

{O(T,x,y,ε)={Τ'∈ℬ(ℍ): ⟨(T'-T)x,y⟩<ε

گردایه اشتراک‌های متناهی از اعضای گردایه بالا تشکیل یک پایه می‌دهد، توپولوژی که این پایه تشکیل می‌دهد را توپولوژی ضعیف عملگرها گوییم. همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف می‌گردد:

 Tⁿ→T ⇔، l⟨Tⁿx,y⟩-⟨Tx,y⟩l→0 

نکته 6:

فرض کنیم ℍ فضای هیلبرت مختلط نابدیهی باشد، فضای عملگرهای خطی و کراندار روی ℍ را با (ℬ(ℍ نمایش می‌دهیم.

۱- توپولوژی نرم یا یکنواخت (Norm Topology): یک زیر پایه (subbase) برای این توپولوژی به صورت زیر تعریف می‌گردد:

{O(T,ε)={Τ'∈ℬ(ℍ): llT'-Tll<ε

گردایه اشتراک‌های متناهی از اعضای گردایه بالا تشکیل یک پایه می‌دهد، توپولوژی که این پایه تشکیل می‌دهد را توپولوژی نرم گوییم. همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف می‌گردد:

Tⁿ →T ⇔ Lim ll Tⁿ - T ll
Lim[ Sup ll( Tⁿ - T ) xll : ll x ll≤ 1 ]→ 0

نکته 7:

فرض کنیم ℍ فضای هیلبرت مختلط نابدیهی باشد، فضای عملگرهای خطی و کراندار روی ℍ را با (ℬ(ℍ نمایش می‌دهیم.

۱- توپولوژی قوی عملگرها (Strong operator topology): یک زیرپایه (subbase) برای این توپولوژی به صورت زیر تعریف می‌گردد:

{O(T,x,ε)={Τ'∈ℬ(ℍ) : ll(T'-T)xll<ε

گردایه اشتراک‌های متناهی از اعضای گردایه بالا تشکیل یک پایه می‌دهد، توپولوژی که این پایه تشکیل می‌دهد را توپولوژی نرم گوییم. همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف می‌گردد:

Tⁿ→T ⇔ ll(Tⁿ-T)xll→0

نکته 8:

1. در فضاهای نرمدار نامتناهی‌البعد توپولوژی ضعیف هیچ‌گاه متر پذیر نیست، یعنی اگر E فضای نرم‌دار نامتناهی‌البعد باشد هیچ متریکی روی E موجود نیست که توپولوژی ضعیف (*Ε, Ε(σ را القا کند.
2. کره واحد ( unite sphere ) و گوی واحد باز هیچگاه در فضای نرمدار نامتناهی‌البعد با توپولوژی ضعیف به ترتیب بسته و باز نیستند.
3. اگر E فضای نرمدار باشد، گوی واحد بسته * E هیچگاه در *E با توپولوژی نرم بسته نیست.
4. برای رفع مشکل فشردگی در نکته ۴ کافی است *E را به توپولوژی ضعیف ستاره مجهز کنیم (قضیه باناخ آلاغو).
5. نکته ۴ یکی از موارد اهمیت توپولوژی ضعیف ستاره را نشان می‌دهد.

نکته 9:

مجموعه همه تابعک‌های خطی روی فضای نرمدار X یک فضای باناخ است که با نماد *Χ یا 'X نمایش می‌دهیم و به صورت زیر میخوانیم:

dual space=conjugate space=adjoint space=first dual space

فضای دوگان=فضای مزدوج=فضای الحاق=فضای دوگان اول

نکته 10:

تعریف کرانداری یکنواخت: کرانداری یکنواخت یعنی سوپریموم اعضای رده توابع، متناهی باشد، یعنی (Sup(lfⁿl<∞
که {lfⁿl=Sup{fⁿ(x): x∈domain و در هر مرحله x ثابت و n متغیر است. (n اندیس است).

نکته 11:

فضای توابع پیوسته یکنواخت، روی یک فضای متریک، با عمل ضرب دو تابع، ضرب اسکالر و جمع دو تابع و نرم سوپریموم:

1. فضای برداری است.
2. فضای توابع است.
3. جبر نیست.
4. جبر باناخ نیست.
5. سی استار جبر نیست.
6. جبر فون نویمان نیست.

اگر f,g کراندار باشند، مورد ۳ و اگر فضای دامنه متریک و فشرده باشد موارد ۴ تا ۶ برقرار می‌گردد. استار را مزدوج اعضا و میدان را اعداد مختلط در نظر می‌گیریم.

منابع:

1. کتاب آنالیز ریاضی 1 و2