نکات کلیدی آنالیز و آنالیز حقیقی برای دکتری

تعریف فضای اندازه در آنالیز حقیقی

یک فضای اندازه (X,M,μ) را کامل گوییم هرگاه هر زیر مجموعه یک مجوعه پوچ عضو سیگما جبر M گردد.

فرض کنیم [∞,λ*:P(R)→[0 یک اندازه خارجی لبگ روی R باشد در این صورت اگر L گردایه همه مجموعه‌های *λ اندازه پذیر باشد (تعریف کاراتئودوری) به سه تایی (R,L,λ) اندازه لبگ گوییم که λ تحدید *λ به L می‌باشد. از طرفی اگر EㄷR و λ*(E)=0 آنگاه λ(E)=۰ است لذا E یک مجموعه پوچ می‌باشد و چون *λ دارای ویژگی یکنوایی است لذا هر زیرمجموعه E نیز *λ اندازه‌پذیر و یک مجموعه پوچ است.

بنابراین ثابت کردیم فضای اندازه لبگ (R,L,λ) یک فضای اندازه کامل است، چون L گردایه همه مجموعه‌های *λ اندازه پذیر است. حال اگر سیگما جبر مجموعه‌های برل اندازه پذیر R با توپولوژی معمولی را با В نشان دهیم داریم: BㄷL 
همانطور که در بالا مشاهده شد سیگما جبر مجموعه‌های برل اندازه پذیر R زیر مجموعه‌ای از سیگما جبر مجموعه‌های لبگ اندازه پذیرند.

با اضافه کردن چه زیرمجموعه‌هایی از R می‌توان سیگما جبر برل را به سیگما جبر لبگ تبدیل کرد. مجموعه H و K را به صورت زیر تعریف میکنم:

K= {NㅌB / λ(N)=0}

H= {E ሀ F / EㅌB, FㄷN, NㅌK}

می‌توان ثابت کرد که مجموعه H که در بالا تعریف شده برابر L است، یعنی گردایه مجموعه لبگ اندازه پذیر L روی R تکمیل شده گردایه مجموعه برل اندازه پذیر R است. و این نشان می‌دهد که هر مجموعه لبگ اندازه پذیر تقریبا همه جا با یک مجموعه برل اندازه پذیر برابر است و اندازه برل کامل نیست.

منابع:

1. آنالیز حقیقی والتر رودین و آلیپرانتز