نکاتی از انتگرال لبگ قابل استفاده برای دانشجویان ارشد و دکتری ریاضیات

نکاتی از انتگرال لبگ (در تمام موارد X مجموعه‌ای اندازه پذیر است)

۱- فرض کنیم [∞,f,g: X→[0 توابع اندازه پذیر باشند، در این صورت داریم:

• تابع f تقریبا همه جا روی X برابر صفر می‌باشد، معادل است با جمله: انتگرال f روی X برابر صفر می‌باشد.
• تابع f تقریبا همه جا با تابع g روی X برابر است معادل می‌باشد با جمله: انتگرال f روی E برابر است باانتگرال g برای هر عضو اندازه پذیر E.

۲- قسمت ب نکته ۱ بیان می‌کند اگر دو تابع f,g خارج مجموعه پوچ X باهم برابر باشند، آنگاه انتگرال‌های این دو تابع روی هر مجموعه اندازه پذیر E با هم برابرند.

۳- بنا به قسمت ب نکته ۱، می‌توان مقدار تابع f روی هر مجموعه پوچ تغییر داد بدون آنکه انتگرال f تغییر کند.

۴- فرض کنیم [∞,fⁿ: X→[0  دنباله‌ای از توابع اندازه‌پذیر روی X باشد که به تابع اندازه پذیر f همگرا باشد در این صورت الزاما انتگرال fⁿ با انتگرال f روی X برابر نمی‌باشد. (یعنی لزوما حد از انتگرال عبور نمی‌کند)

۵- برای رفع مشکل نکته ۴ از قضیه همگرایی یکنوا (Beppo-Levi Theorem) استفاده می‌کنیم.

۶- قضیه همگرایی یکنوا: (Monotone Convergence Theorem)

فرض کنیم [∞,fⁿ: X→[0 دنباله‌ای از توابع صعودی و همگرا به تابع اندزه پذیر f روی X باشد آنگاه انتگرال fⁿ با انتگرال f برابر می‌گردد. (یعنی حد از انتگرال عبور می‌کند)

۷- در قضیه همگرایی یکنوا اگر دنباله [∞, ∞-] →fⁿ: X  صعودی نباشد الزاما حکم قضیه برقرار نیست.

۸- اگر در قضیه همگرایی یکنوا اگر [∞, ∞-] →fⁿ: X صعودی نباشد حداقل اتفاق ممکن لم فاتو (Fatou,s Lemma) است.
یعنی اگر تساوی برقرار نباشد حداقل نامساوی برای انتگرال ها دارید.

۹- همانطور که مشاهده شد قضیه همگرایی یکنوا برای توابعی که منفی باشند یا صعودی نباشند جوابگو نمی‌باشد. اکنون از قضیه‌ای استفاده می‌کنیم که از همگرایی یکنوا قوی‌تر بوده و برای توابع منفی و برای توابع غیرصعودی برقرار می‌باشد به نام قضیه تسلطی لبگ.

۱۰- قضیه تسلطی لبگ: (Lebesgue Dominated Convergence Theorem) فرض کنیم : [∞, ∞-]→ f, fⁿ: X توابع اندازه پذیری باشند که در شرایط زیر صدق کنند:

• (fⁿ(x)→f(x
• یک تابع اندازه پذیر[∞, ∞-] → g: X تقریبا همه جا  موجود باشد که (l fⁿ(x) l ≤ g(x تقریبا همه جا
• g انتگرال پذیر باشد آنگاه انتگرال fⁿ با انتگرل f برابر می‌باشد.(یعنی حد از انتگرال عبور می‌کند)

۱۱- در قضیه همگرایی یکنوا، لم فاتو، و همگرایی تسلطی لبگ، می‌توان همگرایی در اندازه را به جای همگرایی تقریبا همه جایگزین کرد.

منابع:

1. کتاب آنالیز حقیقی