چند نکته مهم از فضای اندازه، اندازه پذیر برل، اندازه پذیر لبگ و ریمان انتگرال پذیر

نکاتی در مورد فضای اندازه

یک فضای اندازه (X,M,μ) را کامل گوییم هرگاه هر زیر مجموعه یک مجوعه پوچ عضو سیگما جبر M گردد. فرض کنیم [∞,λ*:P(R)→[0 یک اندازه خارجی لبگ روی R باشد در این صورت اگر L گردایه همه مجموعه‌های *λ اندازه پذیر باشد. (تعریف کاراتئودوری) به سه تایی (R,L,λ) اندازه لبگ گوییم که λ تحدید *λ به L می‌باشد.

از طرفی اگر EㄷR و λ*(E)=0 آنگاه λ(E)=۰ است لذا E یک مجموعه پوچ می‌باشد، و چون *λ دارای ویژگی یکنوایی است لذا هر زیرمجموعه E نیز *λ اندازه پذیر و یک مجموعه پوچ است. بنابراین ثابت کردیم فضای اندازه لبگ (R,L,λ) یک فضای اندازه کامل است، چون L گردایه همه مجموعه‌های *λ اندازه پذیر است.

حال اگر سیگما جبر مجموعه‌های برل اندازه پذیر R با توپولوژی معمولی را با В نشان دهیم داریم: BㄷL. همانطور که در بالا مشاهده شد سیگما جبر مجموعه‌های برل اندازه پذیر R زیر مجموعه‌ای از سیگما جبر مجموعه‌های لبگ اندازه پذیرند. با اضافه کردن چه زیرمجموعه‌هایی از R می‌توان سیگما جبر برل را به سیگما جبر لبگ تبدیل کرد.

مجموعه H و K را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

{K={NㅌB / λ(N)=0
{H={E ሀ F / EㅌB, FㄷN ,NㅌK 

می‌توان ثابت کرد که مجموعه H که در بالا تعریف شده برابر L است، یعنی گردایه مجموعه لبگ اندازه پذیر L روی R تکمیل شده گردایه مجموعه برل اندازه پذیر R است، و این نشان می‌دهد که هر مجموعه لبگ اندازه پذیر تقریبا همه جا با یک مجموعه برل اندازه پذیر برابر است و اندازه برل کامل نیست.

نکاتی در مورد اندازه پذیر برل

۱- هر زیرمجموعه شمارا از R اندازه پذیر برل است، زیرا هر مجموعه شمارا را می‌توان به صورت اجتماع شمارا تک نقطه‌ای‌ها نوشت و تک نقطه‌ای‌ها عضو سیگما جبر برلند (چرا؟)

۲- هر تابع حقیقی مقدار روی مجموعه شمارای EㄷR اندازه پذیر برل است زیرا مجموعه زیر برای هر aㅌR شماراست. چرا؟

{xㅌE / f(x) < a}

بنابراین بر اساس نکته ذکر شده، یک عضو سیگما جبر برل است.

۳- هر تابع صعودی اندازه پذیر برل می‌باشد و بنابراین اندازه پذیر لبگ نیز است. زیرا مجموعه زیر برای هر aㅌR مجوعه
{xㅌE / f(x) < a} تهی، تک عضوی یا حداقل دو عضو دارد که در این حالت یک بازه است (چرا؟) لذا در همه حالت عضو سیگما جبر برل می‌باشند و حکم آن ثابت می‌گردد.

۴- تابع زیر اندازه پذیر برل و لبگ است.

Sinx xㅌQ
Cosx xㅌQ

اندازه پذیر برل و اندازه پذیر لبگ می‌باشند، زیرا Sinx روی Q اندازه پذیر برل است (چرا؟) و تابع Cosx روی 'Q نیز اندازه پذیر برل است (چرا؟ )، لذا تابع دو ضابطه‌ای بالا روی اجتماع یعنی R نیز اندازه پذیر برل است.

۵- هر تابع حقیقی مقدار f که تقریبا همه جا پیوسته باشد، اندازه پذیر لبگ است زیرا فرض کنیم مجموعه نقاط ناپیوستگی f برابر D باشد در این صورت f روی هر نقطه دامنه جز D پیوسته است. لذا اندازه پذیر لبگ است، از طرف دیگر چون تابع f روی D نیز اندازه پذیر لبگ است (چرا؟). لذا f روی کل دامنه اندازه پذیر لبگ است.

۶- فرض کنیم f تابع حقیقی مقدار روی بازه EㄷR باشد، اگر f در هر نقطه غیرگویای E پیوسته باشد، آنگاه f روی E اندازه پذیر برل است.

ویژگی‌های تابع دو ضابطه‌ای زیر در بازه [0,ㅠ/2]:

Sinx xㅌQ
Sin²x xㅌQ

۱- مجموعه نقاط ناپیوستگی این تابع ناشماراست.

۲- این تابع روی R اندازه پذیر لبگ است.

۳- این تابع ریمان انتگرال پذیر نیست.

۴- مجموعه نقاط پیوستگی این تابع برابر است با حل معادله زیر:

sinx=sin²x

۵- این تابع تقریبا همه جا برابر است با sin²x

۶- این تابع انتگرال پذیر لبگ است.

۷- انتگرال لبگ این تابع برابر است با حل انتگرال sin²x در بازه مذکور

اثبات نکته ۷:

مجموعه اعداد گویا، پوچ است لذا در انتگرال لبگ اثر ندارد. بنابرین تابع در بازه [0,ㅠ/2] تقریبا همه جا برابر است با تابع sin²x.

از طرفی لم لبگ ویتالی وجود انتگرال sin²x را در بازه مذکور ضمانت می‌کند، بنابرین انتگرال لبگ f برابر است با انتگرال ریمان sin²x در بازه [ㅠ/2 , 0]

منابع:

1. کتاب آنالیز حقیقی آلیپرانتز