نکاتی در مورد دنباله‌ها و زیر دنباله‌های قابل استفاده برای ارشد و دکتری ریاضی

نکانی در مورد دنباله‌ها و زیر دنباله‌های قلبل استفاده برای ارشد و دکتری ریاضی:

تعریف دنباله:

فرض کنید X یک مجموعه دلخواه باشد، در این صورت تابع  F: A⊆ℤ→X را دنباله گوییم، که بنا به انتخاب A دنباله، متناهی یا نامتناهی نامگذاری می‌شود.

تعریف زیر دنباله:

هر زیرمجوعه یک دنباله را زیر دنباله گوییم.

نکاتی در مورد دنباله‌ها:

1. هر دنباله یک تابع است.
2. هر دنباله یک رابطه است.
3. هر دنباله یک مجموعه است.
4. یک مجموعه الزاما دنباله نمی‌باشد.
5. هر مجموعه شمارا یک دنباله است.
6. هر مجموعه شمارای نامتناهی را می‌توان به صورت دنباله‌ای با اعضای دو به دو مجزا نوشت.
7. هیچ دنباله‌ای موجود نیست که برد آن ناشمارا گردد.
8. از نکته 7 داریم که هیچ دنباله‌ای موجود نیست که برد آن برابر R یا مجموعه اصم گردد.
9. اگر دنباله‌ای که به بی‌نهایت میل نکند، نمی‌توان نتیجه گرفت که الزاما کراندار است.
10. دنباله حالت خاصی از تور (net) است.
11. همه زیر دنباله‌های یک دنباله همگرا، همگرا می‌باشند.
12. هر دنباله نامتناهی بی‌نهایت زیر دنباله دارد.
13. هر دنباله یک زیر دنباله است.
14. اگر تمام عضای یک دنباله همگرا را در یک مجموعه قرار داده و عضوی که دنباله به آن همگراست به مجموعه اضافه کنیم، یک مجموعه فشرده به دست میاید.
15. در یک فضای متریک گسسته همگرایی دنباله معادل است با اینکه از اندیسی به بعد همه جملات دنباله برابر عدد ثابت گردد.
16. در هر فضای متریک، هر دنباله ثابت همگراست.
17. هر دنباله با برد متناهی در یک فضای متریک، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد.
18. هر عدد گنگ حد دنباله‌ای از اعداد گویاست.
19. هر عدد گویا حد دنباله‌ای از اعداد گنگ است.
20. گوییم x حد زیر دنباله‌ای است اگر و تنها اگر هر همسایگی x شامل بی‌نهایت نقطه متعلق به دنباله باشد.
21. مجموعه حدود زیر دنباله‌ای، دنباله n در R برابر تهی است.
22. اگر مجموعه Q را به متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله‌ای Q دقیقا برابر است با Q.
23. اگر مجموعه N و Z را به متر اقلیدسی مجهز کنیم آنگاه دنباله n / ا در این فضاها همگر نمی‌باشند.
24. در یک فضای متریک هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست.
25. در هر فضای متریک فشرده، هر دنباله فقط با یک زیر دنباله همگرا، همگراست.
26. در هر فضای نرمدار متناهی البعد هر دنباله کراندار حداقل دارای یک زیر دنباله همگراست.
27. در یک فضای نرمدار متناهی البعد، هر دنباله کراندار که فقط دارای یک زیر دنباله همگرا باشد، به حد زیر دنباله همگراست.
28. در یک فضای نرمدار متناهی البعد همگرا و کوشی بودن یک دنباله معادلند.
29. در فضای متریک گسسته کوشی و همگرا بودن یک دنباله معادلند.
30. در هر فضای متریک فشرده، کوشی و همگرا بودن یک دنباله معادلند.
31. هر دنباله از اعداد حقیقی حداکثر یک حد دارد.
32. هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار همگراست.
33. هر دنباله کوشی الزاما کراندار است ولی لزوما همگرا نیست.
34. بنا به نکته 28 یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها اگر کوشی باشد.
35. بنا به نکته 28 یک دنباله مختلط کوشی است اگر وتنها اگر همگرا باشد.
36. یک دنباله حقیقی همگراست اگر وتنها زیر دنباله‌های زوج و فرد در R به عدد يكسان همگرا باشند.

منابع:

1. کتاب آنالیز 1 و 2